Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo, hacen referencia al MCD (mayor número que los divide sin dejar restos) y MCM (número de menor valor que es múltiplo de ellos)

¿Qué es el Máximo Común Divisor (M.C.D)?

Podemos llamar como máximo común divisor de dos enteros a y b al mayor de sus divisores comunes. El máximo común divisor de a y b, la notación se realiza así: m.c.d. (a,b).

Es decir el M.C.D., consiste en el número que divide exactamente a dos o más números a la vez.

Forma de calcular el M.C.D

Para calcular el máximo común divisor de dos números procedemos a descomponer cada número en producto de factores primos y luego multiplicamos los factores comunes elevados al menor exponente.

Si los términos son algebraicos, el M.C.D se halla no solo con los coeficientes sino también con la parte literal, teniendo en cuenta que para cada factor común la letra debe estar repetida en todos los términos.

Ejemplo 1:

¿Cuál es el máximo común divisor de 32, 54?

mcd 32 54 - Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

32 = 25                             54 = 2  x 33

El factor común es 2, se elige el de menor exponente  que en este caso es 2,

El m.c.d. (32,54) = 2

Ejemplo 2:

Buscar el máximo común divisor de 12 y de 16

Como sabemos los divisores de 12 son: 1,2,3,4,6,12 (todos estos números dividen al 12 sin dejar residuo).

Los divisores de 16 son: 1,2,4,8,16 (al igual que el 12 todos estos números dividen al 16 sin dejar residuo).

Si observas tanto el 12 como el 16 se pueden dividir entre 1,2 y 4 (pero como buscamos el M.C.D, el número más grande que divide a ambos números sin dejar residuo es el número 4)

Mínimo común Múltiplo (m.c.m)

Se llama mínimo común múltiplo de dos enteros a y b al menor de los múltiplos positivos comunes a ambos enteros. El mínimo común múltiplo de a y b, la notación se realiza así: m.c.m. (a,b).

Si se quiere calcular el mínimo común múltiplo de dos números, procedemos a descomponer cada uno de ellos en sus factores primos y se multiplican los factores comunes y los no comunes con su mayor exponente.

Si los términos son algebraicos se hace igual con la parte literal.

Ejemplo:

¿Cuál es el mínimo común de 360 y 48?

mcm 360 48 - Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

360 = 23 x 32 x 5                          48 = 24 x 3 

Los factores primos comunes con sus mayores exponentes son 24 y 32 . El factor no común con su mayor exponente es 5. Por consiguiente el mínimo común múltiplo de 360 y 48 es  24  x 3x 5  = 720, es decir, el m.c.m. (360,48) = 720 

Diferencia entre Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

La diferencia entre el Máximo común divisor (M.C.D.) y el mínimo común múltiplo (M.C.M) es que el M.C.D. busca el factor primo común para todos; mientras que el M.C.M. busca el factor primo individual.

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Referencias

Colaboradores de los proyectos Wikimedia. (2004, January 5). mayor número entero que divide dos números enteros sin dejar residuo. Retrieved November 7, 2020, from Wikipedia.org website: https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisor

‌Colaboradores de los proyectos Wikimedia. (2004, January 5). Mínimo común múltiplo. Retrieved November 7, 2020, from Wikipedia.org website: https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimo_com%C3%BAn_m%C3%BAltiplo

‌Mínimo común múltiplo, método y explicación, con ejemplos y test online. (2020). Retrieved November 7, 2020, from Matesfacil.com website: https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/minimo-comun-multiplo-definicion-ejemplos-ejercicios-test-problemas-descomposicion-primos.html

‌Sara Sánchez Ruesgas. (2012, September 26). MCD o Máximo Común Divisor: qué es y cálculo | Smartick. Retrieved November 7, 2020, from Smartick website: https://www.smartick.es/blog/matematicas/divisibilidad/mcd-maximo-comun-divisor/

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