Potencia

Potencia de un número a es el producto de ese mismo número a llamado base por sí mismo, tantas veces como lo indique el exponente; y se expresa de la forma:

a n = a. a. a. a. a… n veces

La base es el número o factor que se va a repetir.

El exponente indica el número de veces que se va a repetir la base o factor.

exponente - Potencia

Ejemplo:

 47 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 16.384

(-10)5 = -10 x -10 x -10 x -10 x -10= – 1.000.000

En otras palabras la potenciación es una operación que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces.

Terminos de la potencia

Los términos de la potenciación son base, exponente y potencia

Ejemplo

24  =  2 x 2 x 2 x 2 = 8

  • Donde 2 es la base (nos indica el número o factor que se debe multiplicar).
  • El número 4 es el exponente (nos muestra la cantidad de veces que se multiplica la base por sí misma).
  • El 8 es la potencia (que viene siendo el resultado).

Aprendiendo a leer potencias

Estas expresiones se leen de la siguiente manera: La base seria en este caso para todos el número 2. Y los exponentes son:.2,3,4,5,6,7,8,9,10 Se lee primero la base y luego el exponente.

22  =  2 x 2 = 4 (cuadrado) dos elevado al cuadrado

23  =  2 x 2 x 2 = 8 (cubo) dos elevado al cubo… y así sucesivamente.

24  =  2 x 2 x 2 x 2 = 16 (a la cuarta potencia)

25  =  2 x 2 x 2 x 2 x 2= 32 (a la quinta)

26  =  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2= 64 (sexta)

27  =  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 (séptima)

28  =  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256 (octava)

29  =  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2= 512 (novena)

210  =  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024 (décima)

Otra forma de leerlo sería por ejemplo:

Dos a la tres (23)

2 a la cuatro (24)…

Dos a la diez (210)

Potencias particulares

Se puede hablar de potencia particulares cuando la base es cero o uno y cuando el exponente es cero o uno.

Cuando la base es 0

0 es multiplicar la base que es cero (0) tantas veces como lo indique el exponente (e) y el resultado de la potenciación siempre será cero.

Ejemplo:

08 = 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = 0

Cuando la base es 1

1 e     es multiplicar la base que es uno (1) tantas veces como lo indique el exponente (e) y el resultado de la potenciación siempre será la unidad.             

Ejemplo:

15  =  1 x 1 x 1x 1 x 1 = 1

Cuando el exponente es 0

Esto es un teorema demostrable, que dice que todo número elevado a la cero es uno excepto el cero, ya que cero elevado a la cero es un número indeterminado.

B 0 = 1

Ejemplo:

5 0 = 1

89 0 = 1

Cuando el exponerte es 1

Esto también es una regla demostrable, que dice que todo número elevado a la unidad o cuyo exponente es uno, la potencia es el mismo número.

B 1 = B

Ejemplo:

5 1 = 5

17 1 = 17

Potencia de Base positiva

Una potencia cuya base es un número entero positivo y el exponente es un número natural par o impar se calcula igual que las potencias en N.

Si la base es un número entero positivo y el exponente es un número natural  par o impar, el resultado siempre es un número positivo.

Ejemplo:

(+4) 3 =  (+4) . (+4) . (+4)  = 64

Potencia de Base negativa y Exponente par

Para calcular una potencia cuya base es un entero negativo y su exponente es un número natural par se aplica la definición de la potencia.

Si la base es un número entero negativo y el exponente es un número natural par, el resultado siempre es un entero positivo.

(-3)  4  = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = +81 = 81

Potencia de Base negativa y Exponente impar

Para calcular una potencia cuya base es un entero negativo y su exponente es un natural impar se aplica la definición de la potencia.

Si la base es un número entero negativo y el exponente es un número natural impar, el resultado siempre es un entero negativo.

Para elevar un número racional negativo (–a/b) a una potencia se aplica la regla de los signos, y luego se elevan a dicha potencia tanto el numerador como el denominador.

(-2) 5 =  (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2)  = - 32

El cuadrado de un número

El cuadrado de un número es cuando ese número está elevado a la potencia de dos o también podemos decir el número al cuadrado.

Se representa así:

B = B x B

El cubo de un número

El cubo de un número es cuando ese número se eleva a la tres o también podemos decir elevado al cubo.

b3   = b x b x b

Propiedades de la potencia

Multiplicación de Potencias de igual Base.

Para calcular la potencia de un producto de igual base, se coloca la misma base y se suman los exponentes. Es decir, dados a  E Z*,  m y n E N, se tiene que:

    a c . a d   =  ( a )  c+d  

Multiplicación de Potencias de igual Base cuando la base es un cociente

Para calcular la potencia de un producto de igual base, se coloca la misma base y se suman los exponentes.

Multiplicacion Potencias igual Base cuando base es cociente - Potencia

Ejemplos

- Potencia- Potenciaa)  (-2) 3 . (-2) 2      (-2) 3+2     (-2) 5

Multiplicacion Potencia igual Base cuando base es cociente - Potencia

División de Potencias de igual Base

Para dividir potencias de igual base, se coloca la misma base y se restan los exponentes del dividendo menos el exponente del divisor. Es decir dados a  E Z*,  m y n E N, se tiene que:

- Potencia     a c / a d          ( a ) c-d  

División de Potencias de igual Base cuando la base es un cociente

Division Potencias igual Base cuando la base es un cociente - Potencia

Ejemplo

2 3 / 2 5   = ( 2 ) 3-5  = (2) -2

Potencia de una Potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, se escribe la misma base y se multiplican los exponentes. Es decir, dados a E Z*, m y n E N,  se cumple:

(a m) n    =   a m.n      

Ejemplo:

   (22) 3  =   2 2.3  =  26

Potencia de una potencia cuando la base es un cociente

Potenciación en Q

Potenciacion en Q - Potencia

Ejemplo:

a) [(-12) 3) 2]  =  (-12) 3.2 = (-12) 6  =   + 2985984

Potenciacion en Q 1 - Potencia

Potencia de un producto o Multiplicación

En general para calcular la potencia de un producto, donde  a y b son números enteros, entonces  se eleva cada factor al exponente de la potencia. Es decir, dados a y b E Z*,  n E N :

(a . b) n   =   a n . b n

Potencia de un cociente

Para calcular la potencia de una fracción o cociente, se elevan tanto el dividendo  como  el divisor al exponente de la potencia. Es decir, dados a y b E Z*,  n E N, se tiene que:

Potencia de un cociente - Potencia

Para calcular la potencia de un número racional con exponente negativo, se aplica la siguiente regla:

Potencias de un cociente - Potencia

Ejemplos:

Potencias de cociente - Potencia

Potencia de un producto cuando la base es una fracción

 El producto de una fracción por si misma n veces es una potencia cuya base es la fracción y n es el exponente. Es decir, para elevar una fracción a una potencia de exponente n>0, se elevan tanto el numerador como el denominador a dicha potencia.

Potencia de un producto cuando la base es una fraccion - Potencia

Ejemplos:

Potencias de producto cuando la base es una fraccion - Potencia

Aplicaciones de las potencias de base 10

Una de las aplicaciones más versátiles y empleada es la que se conoce como Notación Científica.

Notación Científica

Este tipo de notación matemática ha servido de apoyo en el desarrollo de la ciencia, ya que la ciencia se ha puesto exigente al momento de representar los números producto de resultado de investigaciones, estos números en muchos casos son o demasiado grandes o demasiado pequeños. Es por ello que la utilidad de la Notación científica para la ciencia, porque esta consiste en representar números decimales como un producto de dos factores: uno de los factores es un numero comprendido entre 1 y 10, y el otro factor es una potencia de diez, es decir, en la forma   

a . 10 b  con 1 <  a  >  10   y  n E Z.

Es importante recordar que dado un  n E Z*, multiplicar un número por 10n es igual a multiplicar el número por la unidad seguida de n ceros. Y multiplicar un número por 10-n es igual a dividir el número entre 10n.      

Procedimiento

Hay varios pasos que se deben seguir para expresar un número en notación científica, entre ellos están:

  1. La coma decimal se debe mover hacia la derecha o izquierda hasta que quede una sola cifra en la parte entera.
  2. Se debe contar el número de posiciones que se ha movido la coma decimal. Si la coma decimal se corre hacia la izquierda el exponente es positivo y si se corre hacia la derecha el exponente es negativo.
  3. El número que se obtiene en el paso 1 se multiplica por 10 elevado al número obtenido en el paso 2.

Para realizar operaciones con números expresados en notación científica,  es necesario considerar que:

 (a . 10 n) . (b . 10m) = (a.b). 10 n+m

  (a . 10 n) ÷ (b . 10 m) = (a ÷ b) . 10 n - m

 (a . 10 n) m = am . 10 n.m

Mencionamos algunas de estas propiedades de la potenciación aplicadas a la potenciación en base diez:

10 n . 10 m  = 10 n+m

10n ÷ 10m

(10n)m = 10 n-m

Ejemplos de Notación Científica

Calcular y expresar en notación científica   

                      4500000 + 3800000  = 

Notaciones Cientificas - Potencia
notificaciones cientificas1 - Potencia

Se corre la coma hacia la derecha para llevar el número a su valor comprendido entre 1 y 10.

Es lo mismo decir  4,5 . 10 6   +  3,8 . 10 6 = 10 6  . (4,5 + 3,8)                  

                        8,3 . 10 6    Esto es Notación científica             

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Referencias

Colaboradores de los proyectos Wikimedia. (2006, February 4). operación matemática. Retrieved November 24, 2020, from Wikipedia.org website: https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n

Ejercicios de Potenciación y Radicación de Fracciones para Sexto. (2020, May 22). Retrieved November 23, 2020, from Escuelaprimaria.net website: https://escuelaprimaria.net/ejercicios-de-potenciacion-y-radicacion-de-fracciones-para-sexto-de-primaria/

‌POTENCIACION – MATEMATICAS GRADO SEPTIMO. (2020). POTENCIACION – MATEMATICAS GRADO SEPTIMO. Retrieved November 24, 2020, from Google.com website: https://sites.google.com/site/matematicasgradoseptimo/potenciacion

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